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By Haskell Curry

ISBN-10: 0268002746

ISBN-13: 9780268002749

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Example text

Die Inflation, Restriktion und Korestriktion Haben wir im vorigen Paragraphen die Abhängigkeit der Kohomologiegruppen H q (G, A) vom Modul A studiert, so wollen wir uns jetzt dem Verhalten derselben bei Änderung der Gruppe G zuwenden. Es handelt sich dabei in der Hauptsache um die folgende Fragestellung: Sei A ein G-Modul und g eine Untergruppe von G. Dann ist A auch ein g-Modul, und wenn g invariant in G ist, so ist Ag ein G/g-Modul. Welche Beziehungen bestehen zwischen den Kohomologiegruppen H q (G/g, Ag ), H q (G, A) und H q (g, A) ?

Bei der obigen Analyse liegt in der Wahl des Repräsentantensystems uσ noch eine Willkürlichkeit. Gehen wir von einem anderen Repräsentantensystem uσ aus, so erhalten wir durch die Gleichung uσ · uτ = x (σ, τ ) · uστ auch ein anderes Faktorensystem x (σ, τ ). Dieses unterscheidet sich jedoch von x(σ, τ ), wie man mühelos nachrechnet, nur durch einen 2-Korand, nämlich ˆ durch den 2-Korand ∂2 (uσ · u−1 σ ). Da die Gruppe G durch die Relationen (2) und (3) (und durch die Relationen der Gruppen A und G) vollständig bestimmt ist, können wir hiernach sagen: ˆ des Gruppenerweiterungsproblems ist eindeutig bestimmt Die Lösung G durch die Art und Weise, wie die Gruppe G auf A operiert, und durch eine Klasse äquivalenter Faktorensysteme x(σ, τ ), also durch eine Kohomologieklasse aus H 2 (G, A).

Insbesondere erhalten wir das Resultat, dass die so definierte Abbildung Resq für q ≥ 0 mit der schon früher eingeführten übereinstimmt. Wir haben nur noch zu zeigen, dass die Homomorphismen Resq allgemein die Bedingung (ii) erfüllen. 9) zu entnehmen ist. 8) kommutativ. Die Kommutativität der beiden Seitendiagramme folgt unmittelbar aus der Definition der Restriktionsabbildungen durch die Dimensionsverschiebung. 6). 6) gleichfalls kommutativ. Daher überträgt sich die Kommutativität des oberen Quadrates auf das untere Quadrat, und es ist alles bewiesen.

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A theory of formal deducibility by Haskell Curry


by Robert
4.0

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