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By Daniel Plaumann

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LM(gs ) teilbar. Da G eine Gröbnerbasis ist, liegt also keines der Monome von r in L(I). Ebenso liegt keines der Monome von r ′ in L(I). Dann gilt dasselbe auch für r − r ′ . Andererseits gilt r − r ′ ∈ I. Wäre r − r ′ ≠ , so also LM(r − r ′ ) ∈ L(I), Widerspruch. ∎ Der Standardrest r eines Polynoms f bezüglich einer Gröbnerbasis G wird auch als Reduktion von f modulo I bezeichnet und man sagt, dass f modulo I zu r reduziert. 17. Genau dann liegt ein Polynom f in einem Ideal I, wenn es modulo I zu  reduziert.

Der Befehl f // L produziert dagegen die Darstellung von f − r im Ideal ⟨L⟩. Schauen wir uns das Beispiel von oben an. i1 : R = QQ[x,y]; i2 : g1=x*y+1; g2=yˆ2-1; f = x*yˆ2-x; i5 : L = matrix({{g1,g2}}); i6 : f % L o6 = 0 o6 : R i7 : f // L o7 = {2} | y3-y | {2} | -xy2+x-y | 2 1 o7 : Matrix R <--- R Der Standardrest f % L ist , es gilt also f ∈ ⟨g , g ⟩. Der Output von f//L besteht aus den beiden Polynomen h , h mit f = h g + h g , die aus dem Divisionsalgorithmus entstehen. Wenn man mit einem Ideal I arbeitet, dann liefert gens I die Liste von Erzeugern, die man im Divisionsalgorithmus verwenden kann.

Es folgt (u, l) ∈ S und (u, l) ⪯ (t ′ , k) = t. 6. Jedes monomiale Ideal wird von endlich vielen Monomen erzeugt. ∎ Natürlich wussten wir das schon aus dem Basissatz, haben aber jetzt einen unhängigen Beweis. 1Paul Gordan (1837–1912), deutscher Mathematiker 2L. E. 2. MONOMORDNUNGEN UND DIVISION MIT REST 41 Übungen ). 1. Zeigen Sie: Die Anzahl der Monome vom Grad d in n Variablen x , . . 2. Es seien I ein monomiales Ideal und f ein Polynom in k[x , . . , x n ]. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (a) Es gilt f ∈ I.

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Algebraische Geometrie by Daniel Plaumann


by James
4.0

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