Algebraische Zahlentheorie - download pdf or read online

By Jürgen Neukirch

ISBN-10: 0124859674

ISBN-13: 9780124859678

Die algebraische Zahlentheorie ist eine der traditionsreichsten und gleichzeitig heute besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. In dem vorliegenden Buch wird sie in einem ausführlichen und weitgefaßten Rahmen abgehandelt, der sowohl die Grundlagen als auch ihre Höhepunkte enthält. Die Darstellung führt den Studenten in konkreter Weise in das Gebiet ein, läßt sich dabei von modernen Erkenntnissen übergeordneter Natur leiten und ist in vielen Teilen neu. Der grundlegende erste Teil ist mit einigen neuen Aspekten versehen, wie etwa der "Minkowski-Theorie" und einer ausführlichen Theorie der Ordnungen. Über die Grundlagen hinaus enthält das Buch eine geometrische Neubegründung der Theorie der algebraischen Zahlkörper durch die Entwicklung einer "Riemann-Roch-Theorie" vom "Arakelovschen Standpunkt", die bis zu einem "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" führt, ferner eine moderne Darstellung der Klasssenkörpertheorie und schließlich eine neue Theorie der Theta-Reihen und L-Reihen, die die klassischen Arbeiten von Hecke in eine faßliche shape setzt. Das Buch ist an Studenten nach dem Vorexamen gerichtet, darüber hinaus wird es sehr bald dem Forscher als weiterweisendes Handbuch unentbehrlich sein.

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Let p be aprime ideal of o which is relatively prime to the conductor 5 of o[0], and let Chapter I. Algebraic Integers 48 be the factorization of the polynomial p(X) = p(X) mod p into irreducibles pi (X) = pi (X) mod p over the residue class field alp, with all p; (X) E o[X] monic. , r , are the different prime ideals o f 0 above p. p:. Proof: Writing O1= 0[8] and 5 = o/p, we have a canonical isomorphism 01p0 z 0'1p0' r a [ x ] /(p(x)). The first isomorphism follows from the relative primality pO 5 = 0 .

For the ring o , the fractional ideals of o , in other words, the finitely generated nonzero o-submodules of the field of fractions K , no longer form a group - unless o happens to be Dedekind. , to those fractional ideals a of o for which there exists a fractional ideal b such that These form an abelian group, for trivial reasons. The inverse of a is still the fractional ideal a-' = ( x E K xa g o } , I In the case where o is a Dedekind domain, the Picard group is of course nothing but the ideal class group C I K .

Algebraic Integers 70 To end this section, we now want to compare a Dedekind domain o to the ring o(X) = f I f ,g (g E 0, g + 0 mod p for p E X I , where X is a set of prime ideals # 0 of o which contains almost all prime ideals of o. 1), the prime ideals # 0 of o ( X ) are given as px = po(X), for p E X, and it is easily checked that o and o(X) have the same localizations o p = o(X)px. We denote by Cl(o), resp. Cl(o(X)), the ideal class groups of o , resp. o(X). 6) Proposition. There is a canonical exact sequence and one has K *lo: S Z.

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Algebraische Zahlentheorie by Jürgen Neukirch


by Kenneth
4.5

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