Otto Forster's Algorithmische Zahlentheorie PDF

By Otto Forster

ISBN-10: 3658065397

ISBN-13: 9783658065393

Das Buch gibt eine Einführung in die Zahlentheorie bis hin zu den quadratischen Zahlkörpern. Dabei wird durchgehend auch der algorithmische Aspekt betrachtet. So werden Existenzsätze (z.B. für die Darstellung von Primzahlen der shape p=4n+1 als Summe von zwei Quadratzahlen) stets durch Algorithmen zur Konstruktion ergänzt. Neben den klassischen Inhalten der elementaren Zahlentheorie werden in dem Buch u.a. auch die Multiplikation großer ganzer Zahlen mittels der schnellen Fourier-Transformation sowie Faktorisierung ganzer Zahlen mit elliptischen Kurven behandelt.

Für die Neuauflage wurden bekannt gewordene Fehler der ersten Auflage korrigiert und an mehreren Stellen Umarbeitungen vorgenommen. Außerdem gibt es neue Abschnitte über die Faktorisierung mit dem Quadratischen Sieb, den Diskreten Logarithmus (der in der Kryptographie eine große Rolle spielt) sowie über den deterministischen AKS-Primzahltest mit polynomialer Laufzeit. Damit der Leser die Algorithmen auf seinem computing device oder laptop auch konkret testen kann, werden die Algorithmen in einem pascalähnlichen Code für den vom Autor entwickelten Multipräzisions-Interpreter ARIBAS beschrieben, der zum kostenlosen obtain zur Verfügung steht.

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Springer Fachmedien Wiesbaden 2015 O. 1007/978-3-658-06540-9_5 § 5 Primfaktor-Zerlegung 33 Bemerkung. 2 b) kann die Voraussetzung, dass R Hauptidealring ist, nicht weggelassen werden, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt: Sei √ √ R := Z[ −3] = {n + m −3 : n, m ∈ Z} ⊂ C. In diesem Ring ist die Zahl 2 irreduzibel, aber nicht prim, denn es gilt √ √ 2 | 4 = (1 + −3)(1 − −3), √ ¨ liefert dieser Ring auch ein aber 2 teilt keinen der Faktoren 1 ± −3. Ubrigens Beispiel, dass ein Element auf zwei wesentlich verschiedene Weisen in irreduzible Elemente zerlegt werden kann.

An−1 X + an ∈ Z[X] ur ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und p eine Primzahl mit p | ai f¨ 1 i n und p2 an . Dann ist F irreduzibel (in Z[X] und in Q[X]). § 5 Primfaktor-Zerlegung 41 Beweis. Angenommen, F w¨are reduzibel in Q[X]. Da F ein primitives Polynom ist, zerf¨ allt es auch ganzzahlig, F = GH mit −1 k−1 G(X) = X k + bν X k−ν , H(X) = X + ν=1 cν X −ν ∈ Z[X], ν=1 und k, 1, k + = n. Es gilt an = F (0) = G(0)H(0) = bk c . A. p | bk , p c . Es gibt dann ein r ∈ N, 1 r k, und Polynome g1 , g2 ∈ Z[X] mit G(X) = g1 (X)X r + pg2 (X), p g1 (0) r ur den Koeffizienten von X r Damit ist F (X) = g1 (X)H(X)X + pg2 (X)H(X).

Man kann die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen auf die des gr¨oßten gemeinsamen Teilers zur¨ uckf¨ uhren, wie folgender Satz zeigt. 13. Satz. Seien x, y von 0 verschiedene Elemente eines Hauptidealrings R und d ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler von x und y. Dann ist xy v := d kleinstes gemeinsames Vielfaches von x und y. Beweis. Es ist klar, dass v = x(y/d) = (x/d)y ein gemeinsames Vielfaches von x und y ist. h. § 4 Der Euklidische Algorithmus 31 w = tx = sy mit t, s ∈ R. Es gibt Elemente λ, μ ∈ R mit λx + μy = d.

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Algorithmische Zahlentheorie by Otto Forster


by George
4.3

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