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By Euler L.

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Springer Fachmedien Wiesbaden 2015 O. 1007/978-3-658-06540-9_5 § 5 Primfaktor-Zerlegung 33 Bemerkung. 2 b) kann die Voraussetzung, dass R Hauptidealring ist, nicht weggelassen werden, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt: Sei √ √ R := Z[ −3] = {n + m −3 : n, m ∈ Z} ⊂ C. In diesem Ring ist die Zahl 2 irreduzibel, aber nicht prim, denn es gilt √ √ 2 | 4 = (1 + −3)(1 − −3), √ ¨ liefert dieser Ring auch ein aber 2 teilt keinen der Faktoren 1 ± −3. Ubrigens Beispiel, dass ein Element auf zwei wesentlich verschiedene Weisen in irreduzible Elemente zerlegt werden kann.

An−1 X + an ∈ Z[X] ur ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und p eine Primzahl mit p | ai f¨ 1 i n und p2 an . Dann ist F irreduzibel (in Z[X] und in Q[X]). § 5 Primfaktor-Zerlegung 41 Beweis. Angenommen, F w¨are reduzibel in Q[X]. Da F ein primitives Polynom ist, zerf¨ allt es auch ganzzahlig, F = GH mit −1 k−1 G(X) = X k + bν X k−ν , H(X) = X + ν=1 cν X −ν ∈ Z[X], ν=1 und k, 1, k + = n. Es gilt an = F (0) = G(0)H(0) = bk c . A. p | bk , p c . Es gibt dann ein r ∈ N, 1 r k, und Polynome g1 , g2 ∈ Z[X] mit G(X) = g1 (X)X r + pg2 (X), p g1 (0) r ur den Koeffizienten von X r Damit ist F (X) = g1 (X)H(X)X + pg2 (X)H(X).

Man kann die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen auf die des gr¨oßten gemeinsamen Teilers zur¨ uckf¨ uhren, wie folgender Satz zeigt. 13. Satz. Seien x, y von 0 verschiedene Elemente eines Hauptidealrings R und d ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler von x und y. Dann ist xy v := d kleinstes gemeinsames Vielfaches von x und y. Beweis. Es ist klar, dass v = x(y/d) = (x/d)y ein gemeinsames Vielfaches von x und y ist. h. § 4 Der Euklidische Algorithmus 31 w = tx = sy mit t, s ∈ R. Es gibt Elemente λ, μ ∈ R mit λx + μy = d.

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by Robert
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